2017年硕士研究生《数学(二)》真题
1、若函数
在x=0处连续，则（）．
在x=0处连续，则（）． A.ab=
B.ab=-
C.ab=0
D.ab=2
本题答案：
A
A
2、设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1，且f”(x)>0，则（）．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
B
B
3、设数列{xn}收敛，则（）．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
4、微分方程y”-4y'+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为y*=（）．
A.Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)
B.Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)
C.Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)
D.Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)
本题答案：
C
C
5、设f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有
，则（）．
，则（）． A.f(0,0)>f(1,1)
B.f(0,0) C.f(0,1)>f(1,0) D.f(0,1)
本题答案：
D
6、甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处．图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3．计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：S)，则（）．
A.t0=10
B.150<20
C.t0=25
D.t0>25
本题答案：
C
C
7、设A为三阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得
，则A(α1+α2+α3)=（）．
，则A(α1+α2+α3)=（）． A.α1+α2
B.α2+2α3
C.α2+α3
D.α1+2α2
本题答案：
B
B
8、
A.A与C相似，B与C相似
B.A与C相似，B与C不相似
C.A与C不相似，B与C相似
D.A与C不相似，B与C不相似
本题答案：
B
B
9、
_______.
_______.
本题答案：
y=x+2
【解析】
y=x+2
【解析】
10、
_______.
_______.
本题答案：
【解析】
【解析】
11、
_______.
_______.
本题答案：
1【解析】
1【解析】
12、设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______.
本题答案：
xyey
【解析】
，
.由于f(x,y)=
,因此
，则
得c(y)=C.又f(0,0)=0,可得C=0，因此f(x,y)=xyey
xyey
【解析】
，.由于f(x,y)=,因此，则得c(y)=C.又f(0,0)=0,可得C=0，因此f(x,y)=xyey
13、
_______.
_______.
本题答案：
-lncos1【解析】交换积分次序求解．
-lncos1【解析】交换积分次序求解．
14、
_______.
_______.
本题答案：
-1
【解析】设α=(1，1，2)T，由题设知Aα=λα，故有
从而可得λ=1，a=-1．
-1
【解析】设α=(1，1，2)T，由题设知Aα=λα，故有
从而可得λ=1，a=-1．
15、
本题答案：
令x-t=u，则t=x-u，dt=-du，从而
令x-t=u，则t=x-u，dt=-du，从而
16、设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y=f(ex，cosx)，求
，
。
，。
本题答案：
解：由y=f(ex，cosx)，可得y(0)=f(1，1)，且
解：由y=f(ex，cosx)，可得y(0)=f(1，1)，且
17、
本题答案：
18、已知函数y(x)由方程x3+y3—3x+3y-2=0所确定，求y(x)的极值．
本题答案：
将方程x3+y3—3x+3y-2=0两边关于x分别求一阶、二阶导数可得
3x2+3y2y’-3+3y'=0，①
6x+6y(y’)2+3y2y”+3y”=0．②
将x=1，y=1及y'(1)=0代入②式，可得y”(1)=-1<0．
因此x=1是极大值点，极大值为y(1)=1．
将x=-1，y=0及y’(-1)=0代入②式，可得y”(-1)=2>0．
因此x=-1是极小值点，极小值为y(-1)=0．
将方程x3+y3—3x+3y-2=0两边关于x分别求一阶、二阶导数可得
3x2+3y2y’-3+3y'=0，①
6x+6y(y’)2+3y2y”+3y”=0．②
将x=1，y=1及y'(1)=0代入②式，可得y”(1)=-1<0．
因此x=1是极大值点，极大值为y(1)=1．
将x=-1，y=0及y’(-1)=0代入②式，可得y”(-1)=2>0．
因此x=-1是极小值点，极小值为y(-1)=0．
19、设函数f(x)在区间[0，1]上具有二阶导数，且f(1)>0，
证明：
(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．
证明：(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．
本题答案：
证明：(I)
由于
，根据极限的保号性，可知∃δ>0，对
证明：(I)
由于
，根据极限的保号性，可知∃δ>0，对
20、已知平面区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，计算二重积分
本题答案：
平面区域D是以(0，1)为圆心，1为半径的圆域，且区域D关于y轴对称．
平面区域D是以(0，1)为圆心，1为半径的圆域，且区域D关于y轴对称．
21、设y(x)是区间(0，
)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与Y轴相交于点(0，Yp)，法线与x轴相交于点(XP，0)．若XP=YP，求L上
点的坐标(x，y)满足的方程．
)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线L：y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与Y轴相交于点(0，Yp)，法线与x轴相交于点(XP，0)．若XP=YP，求L上点的坐标(x，y)满足的方程．
本题答案：
22、设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．
(I)证明：r(A)=2；
(Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
(I)证明：r(A)=2；
(Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
本题答案：
23、设二次型f(x1，x2，x3)=
在正交变换x=Qy下的标准形为
，求a的值及一个正交矩阵Q．
在正交变换x=Qy下的标准形为，求a的值及一个正交矩阵Q．
本题答案：
