2018年硕士研究生《数学(二)》真题
1、
（）.
（）. A.a=
，b=-1
B.a=-
，b=-1
C.a=
，b=1
D.a=-
，b=1
本题答案：
B
B
2、下列函数中，在x=0处不可导的是（）．
A.f(x)=|x|sin|x|
B.f(x)=|x|sin
C.f(x)=cos|x|
D.f(x)=cos
本题答案：
D
D
3、设函数
．若f(x)+g(x)在R上连续，则（）．
．若f(x)+g(x)在R上连续，则（）． A.a=3，b=1
B.a=3，b=2
C.a=-3，b=1
D.a=-3，b=2
本题答案：
D
D
4、设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且
，则（）．
，则（）． A.当f’(x)<0时，f(
)<0
B.当f’’(x)<0时，f(
)<0
C.当f'(x)>0时，f(
)<0
D.当f”(x)>0时，f(
)<0
本题答案：
D
D
5、
（）．
（）． A.M>N>K
B.M>K>N
C.K>M>N
D.K>N>M
本题答案：
C
C
6、
（）．
（）． A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
7、
（）.
（）. A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
8、设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则（）．
A.r(A，AB)=r(A)
B.r(A，BA)=r(A)
C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}
D.r(A，B)=r(AT BT)
本题答案：
A
A
9、
________．
________．
本题答案：
1
【解析】由拉格朗日中值定理，得
1
【解析】由拉格朗日中值定理，得
10、曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是________．
本题答案：
y=4x-3
【解析】首先求得函数y=x2+2ln x的定义域为(0，+∞)．
求一阶、二阶导数，可得y’=2x+
，y”=2-
.
令y”=0，得x=1．当x>1时，y”>0；当x<1时，y”<0．
因此(1，1)为曲线的拐点，点(1，1)处的切线斜率k=y’(1)=4．
因此切线方程为y-1=4(x-1)，即y=4x-3．
y=4x-3
【解析】首先求得函数y=x2+2ln x的定义域为(0，+∞)．
求一阶、二阶导数，可得y’=2x+
，y”=2-.令y”=0，得x=1．当x>1时，y”>0；当x<1时，y”<0．
因此(1，1)为曲线的拐点，点(1，1)处的切线斜率k=y’(1)=4．
因此切线方程为y-1=4(x-1)，即y=4x-3．
11、
________．
________．
本题答案：
【解析】
【解析】
12、
________．
________．
本题答案：
【解析】
【解析】
13、设函数z=z(x，y)由方程lnz+ez-1=xy所确定，则
________．
________．
本题答案：
【解析】
【解析】
14、设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组．若Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，则A的实特征值为________．
本题答案：
2
【解析】
2
【解析】
15、
本题答案：
16、
(I)求f(x)；
(II)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．
(I)求f(x)；
(II)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．
本题答案：
(I)令u=x-t，则t=x-u，dt=-du．因此
因此a=
．
(I)令u=x-t，则t=x-u，dt=-du．因此
因此a=
．
17、
本题答案：
题中所给曲线是一条拱线，平面区域D可表示为
题中所给曲线是一条拱线，平面区域D可表示为
18、已知常数k≥ln2-1，证明：(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0．
本题答案：
证明：当x=1时，显然所证成立．
当x≠1时，令f(x)=x-ln2x+2k lnx-1(x>0)，求导得
令g(x)=x-2lnx+2k，求导得
g'(x)=1-
.
令g’(x)=0，得驻点x=2．
①当0g(x)>g(1)=1+2k≥l+2(ln2—1)=2ln2—1>0．
因此f’(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)在(0，1)上，由x-1<0，f(x)<0，可得
(x-1)(x-1n2x+2k lnx-1)>0．
②当x>1时，可知当12时，g'(x)>0．
因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，则
g(x)>g(2)=2—2ln2+2k≥2—2ln2+2(ln2—1)=0．
因此f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f(x)>f(1)=0．
在(1，+∞)上，由x-1>0，f(x)>0，可得
(x-1)(x—ln2x+2k ln x-1)>0．
综上所述，当x>0时，不等式(x-1)(x—ln2x+2k ln x-1)≥0恒成立．
证明：当x=1时，显然所证成立．
当x≠1时，令f(x)=x-ln2x+2k lnx-1(x>0)，求导得
令g(x)=x-2lnx+2k，求导得
g'(x)=1-
.令g’(x)=0，得驻点x=2．
①当0
因此f’(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)
(x-1)(x-1n2x+2k lnx-1)>0．
②当x>1时，可知当1
因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，则
g(x)>g(2)=2—2ln2+2k≥2—2ln2+2(ln2—1)=0．
因此f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f(x)>f(1)=0．
在(1，+∞)上，由x-1>0，f(x)>0，可得
(x-1)(x—ln2x+2k ln x-1)>0．
综上所述，当x>0时，不等式(x-1)(x—ln2x+2k ln x-1)≥0恒成立．
19、将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．
本题答案：
设分割后的三段铁丝的长分别为x，y，z，则x+y+z=2．
设分割后的三段铁丝的长分别为x，y，z，则x+y+z=2．
20、已知曲线L：y=
x2(x≥0)，点O(0，0)，点A(0，1)，设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积．若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率．
x2(x≥0)，点O(0，0)，点A(0，1)，设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L所围成图形的面积．若P运动到点(3，4)时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率．
本题答案：
设点P的坐标为(x(t)，
x2(t))，则所围图形的面积为
设点P的坐标为(x(t)，
x2(t))，则所围图形的面积为
21、
本题答案：
证明：设f(x)=ex-1-x(x>0)，则有
证明：设f(x)=ex-1-x(x>0)，则有
22、设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；
(Ⅱ)求f(x1，x2，x3)的规范形．
本题答案：
(I)由f(x1，x2，x3)=0得
(I)由f(x1，x2，x3)=0得
23、
(I)求a；
(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．
(I)求a；
(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．
本题答案：
(I)由题意知|A|=|B|，且r(A)=r(B)．由于
因此可得a=2．
(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P，即求方程组Ax=B的解．
令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，X=(x1，x2，x3)，
则可得方程组Ax1=β1的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(3，-1，0)T；
得方程组Ax2=β2的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T；
得方程组Ax3=β3的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T．
从而可知三个非齐次方程组的通解为
(I)由题意知|A|=|B|，且r(A)=r(B)．由于
因此可得a=2．
(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P，即求方程组Ax=B的解．
令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，X=(x1，x2，x3)，
则可得方程组Ax1=β1的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(3，-1，0)T；
得方程组Ax2=β2的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T；
得方程组Ax3=β3的基础解系为(-6，2，1)T，特解为(4，-1，0)T．
从而可知三个非齐次方程组的通解为