2019年硕士研究生《数学(二)》真题
1、当x→0时，x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=()．
A.1
B.2
C.3
D.4
本题答案：
C
C
2、y=xsinx+2cosx[x∈(
)]的拐点坐标是()．
)]的拐点坐标是()． A.(0，2)
B.(π，-2)
C.(
,π/2)
D.
本题答案：
B
B
3、下列反常积分发散的是()．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
4、已知微分方程
的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a，b，c依次为()．
的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a，b，c依次为()． A.1，0，1
B.1，0，2
C.2，1，3
D.2，1，4
本题答案：
D
D
5、已知平面区域
，
，则I1，I2，I3的大小关系为()。
，，则I1，I2，I3的大小关系为()。
A.I3＜I2＜I1
B.I2＜I1＜I3
C.I1＜I2＜I3
D.I2＜I3＜I1
本题答案：
A
A
6、已知f(x)，g(x)二阶导数存在且在x=a处连续，则
是f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的()。
是f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的()。 A.充分非必要条件
B.充分必要条件
C.必要非充分条件
D.既非充分又非必要条件
本题答案：
A
A
7、设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是()。
A.0
B.1
C.2
D.3
本题答案：
A
A
8、设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型xTAx的规范形为()．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
9、
本题答案：
4e2
【解析】
4e2
【解析】
10、
在
对应点处的切线在y轴上的截距为_______．
在对应点处的切线在y轴上的截距为_______．
本题答案：
【解析】
【解析】
11、设函数f(u)可导，
本题答案：
【解析】
【解析】
12、函数y=lncosx(0≤x<
)的弧长为（）。
)的弧长为（）。
本题答案：
【解析】
【解析】
13、已知函数
本题答案：
【解析】
【解析】
14、
，Aij表示|A|中(i,j)的代数余子式，则A11-A12=_______．
，Aij表示|A|中(i,j)的代数余子式，则A11-A12=_______．
本题答案：
-4【解析】
-4【解析】
15、
本题答案：
16、
本题答案：
17、
(I)求y(x)；
(Ⅱ)设平面区域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
(I)求y(x)；
(Ⅱ)设平面区域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
本题答案：
18、
本题答案：
(x2+y2)3=y4的极坐标方程为r=sin2θ，由对称性知
(x2+y2)3=y4的极坐标方程为r=sin2θ，由对称性知
19、设n是正整数，记Sn为y=e-xsinx(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求
．
．
本题答案：
设区间[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所围的面积记为uk，则
设区间[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所围的面积记为uk，则
20、已知函数u(x，y)满足
，求a，b的值，使得在变换u(x，y)=v(x，y)eax+by之下，上述等式可化为函数v(x，y)的不含一阶偏导数的等式。
，求a，b的值，使得在变换u(x，y)=v(x，y)eax+by之下，上述等式可化为函数v(x，y)的不含一阶偏导数的等式。
本题答案：
21、已知函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且
，证明：
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；
(Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f”(η)<-2．
，证明：(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；
(Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f”(η)<-2．
本题答案：
(I)设f(x)在ξ处取得最大值，则由条件f(0)=0,f(1)=1，
可知f(ξ)>1，于是0<ξ<1，
由费马引理得f'(ξ)=0．
(II)若不存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2，
则对任何x∈(0，1)，有f”(x)≥-2，
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(ξ)=f'C．(x-ξ)，C介于x与ξ之间，
不妨设x<ξ，f'(x)≤-2(x-ξ)，
于是f(ξ)-f(0)<1，即f(ξ)<1，
这与f(ξ)>1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2．
(I)设f(x)在ξ处取得最大值，则由条件f(0)=0,f(1)=1，
可知f(ξ)>1，于是0<ξ<1，
由费马引理得f'(ξ)=0．
(II)若不存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2，
则对任何x∈(0，1)，有f”(x)≥-2，
由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(ξ)=f'C．(x-ξ)，C介于x与ξ之间，
不妨设x<ξ，f'(x)≤-2(x-ξ)，
于是f(ξ)-f(0)<1，即f(ξ)<1，
这与f(ξ)>1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2．
22、
本题答案：
由等价的定义可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有
r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)．
对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得：
当a=-1时，有r(α1，α2，α3)当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2；
当a≠1且a≠-1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3；
则当a=1或a≠1且a≠-1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示．
此时，要保证α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，
对(β1，β2，β3，α1，α2，α3)作初等行变换可得
综上所述，当a≠-1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3可相互线性表示．
由等价的定义可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有
r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)．
对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得：
当a=-1时，有r(α1，α2，α3)
当a≠1且a≠-1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3；
则当a=1或a≠1且a≠-1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示．
此时，要保证α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，
对(β1，β2，β3，α1，α2，α3)作初等行变换可得
综上所述，当a≠-1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3可相互线性表示．
23、
(I)求x，y；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=B．
(I)求x，y；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=B．
本题答案：
(I)因为相似矩阵有相同的特征值，所以
(I)因为相似矩阵有相同的特征值，所以