2019年硕士研究生《数学(一)》真题
1、当x→0时，x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=( )．
A.1
B.2
C.3
D.4
本题答案：
C
C
2、
A.可导点，极值点
B.不可导点，极值点
C.可导点，非极值点
D.不可导点，非极值点
本题答案：
B
B
3、设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是( )．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
4、
，如果对上半平面(y>O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有
Q(x，y)dy=0，那么函数P(x，y)可取为( )．
，如果对上半平面(y>O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有Q(x，y)dy=0，那么函数P(x，y)可取为( )． A.
B.
C.
D.
本题答案：
D
D
5、设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型xTAx的规范形为( )．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
6、如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程ai1x+ai2y+ai3z=di(i=1，2，3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A，
，则( )．
，则( )． A.r(A)=2，r(
)=3
B.r(A)=2，r(
)=2
C.r(A)=1，r(
)=2
D.r(A)=1，r(
)=1
本题答案：
A
A
7、设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是( )．
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(A
)=P(B
)
D.P(AB)=P(
)
本题答案：
C
C
8、设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(μ，σ2)，则P{|X-Y|<1}( )．
A.与μ无关，而与σ2有关
B.与μ有关，而与σ2无关
C.与μ，σ2都有关
D.与μ，σ2都无关
本题答案：
A
A
9、设函数f(u)可导，z=f(siny-sinx)+xy，则
本题答案：
【解析】
【解析】
10、微分方程2yy’-y2-2=0满足条件y(0)=1的特解为______．
本题答案：
【解析】
【解析】
11、幂级数
内的和函数S(x)=______．
内的和函数S(x)=______．
本题答案：
【解析】
【解析】
12、设∑为曲面x2+y2+4z2=4(z≥0)的上侧，则
本题答案：
【解析】
将曲面方程代入积分表达式，原积分为
【解析】
将曲面方程代入积分表达式，原积分为
13、设A=
1，2，3为三阶矩阵，若1，2线性无关，且3=-1+22，则线性方程组Ax=0的通解为_______．
1，2，3为三阶矩阵，若1，2线性无关，且3=-1+22，则线性方程组Ax=0的通解为_______．
本题答案：
【解析】
∵
1，2线性无关，
∴r(A)≥2．
∵3=-1+22，∴r(A)<3，∴r(A)=2，
∴Ax=0的基础解系中有n-r(A)=3-2=1个线性无关的解向量．
∵1-22+3=0，
【解析】
∵
1，2线性无关，∴r(A)≥2．
∵
3=-1+22，∴r(A)<3，∴r(A)=2，∴Ax=0的基础解系中有n-r(A)=3-2=1个线性无关的解向量．
∵
1-22+3=0，
14、设随机变量x的概率密度为
F(X)为X的分布函数，E(X)为X的数
学期望，则P{F(X)>E(X)-1}=．
F(X)为X的分布函数，E(X)为X的数学期望，则P{F(X)>E(X)-1}=．
本题答案：
【解析】
方法一
方法二
易知Y=F(X)~U(0，1)，
【解析】
方法一
方法二
易知Y=F(X)~U(0，1)，
15、设函数y(x)是微分方程
满足条件y(0)=0的特解．
(I)求y(x)；
(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点．
满足条件y(0)=0的特解．(I)求y(x)；
(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点．
本题答案：
(I)
(I)
16、设a，b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3，4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方
向导数最大，最大值为10．
(I)求a，b；
(11)求曲面z=2+ax2+by2(z≥0)的面积．
向导数最大，最大值为10．
(I)求a，b；
(11)求曲面z=2+ax2+by2(z≥0)的面积．
本题答案：
(I)函数梯度为▽=(2ax，2by)，则函数在点(3，4)处的梯度为(6a，8b)，
则可知沿方向(-3，-4)的最大方向导数为
(I)函数梯度为▽=(2ax，2by)，则函数在点(3，4)处的梯度为(6a，8b)，
则可知沿方向(-3，-4)的最大方向导数为
17、求曲线y=e-xsinx(x≥0)与x轴之间所成图形的面积．
本题答案：
18、
(Ⅰ)证明：数列{an}单调递减，且
(Ⅱ)
(Ⅰ)证明：数列{an}单调递减，且
(Ⅱ)
本题答案：
证明：
证明：
19、设Ω是由锥面x2+(y-z)2=(1-z)2(0≤z≤1)与平面z=0围成的锥体，求Ω的形心坐标．
本题答案：
设力的形心坐标为
，根据对称性可知
=0．
对于0≤z≤1，记Dz={(x，y)|x2+(y-z)2≤(1-z)2}，则
设力的形心坐标为
，根据对称性可知=0．对于0≤z≤1，记Dz={(x，y)|x2+(y-z)2≤(1-z)2}，则
20、设向量组
1=(1，2，1)T，2=(1，3，2)T，3=(1，a，3)T为R3的一个基，β=(1，1，1)T，在这组基下的坐标为(b，c，1)T．
(I)求a，b，c；
(Ⅱ)证明2，3，β为R3的一个基，并求2，3，β到1，2，3的过渡矩阵．
1=(1，2，1)T，2=(1，3，2)T，3=(1，a，3)T为R3的一个基，β=(1，1，1)T，在这组基下的坐标为(b，c，1)T．(I)求a，b，c；
(Ⅱ)证明
2，3，β为R3的一个基，并求2，3，β到1，2，3的过渡矩阵．
本题答案：
21、已知矩阵
(I)求x，y；
(II)求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
(I)求x，y；
(II)求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
本题答案：
(Ⅱ)A的特征值与对应的特征向量分别为
B的特征值与对应的特征向量分别为
(Ⅱ)A的特征值与对应的特征向量分别为
B的特征值与对应的特征向量分别为
22、设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=
p，P{Y=1}=1-p，(0(I)求Z的概率密度；
(Ⅱ)p为何值时，X与Z不相关?
(Ⅲ)X与Z是否相互独立?
p，P{Y=1}=1-p，(0
(Ⅱ)p为何值时，X与Z不相关?
(Ⅲ)X与Z是否相互独立?
本题答案：
23、设总体x的概率密度为
其中μ是已知参数，σ>0是未知参
数，A是常数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本．
(I)求A；
(Ⅱ)求σ2的最大似然估计量．
其中μ是已知参数，σ>0是未知参
数，A是常数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本．
(I)求A；
(Ⅱ)求σ2的最大似然估计量．
本题答案：
