2021年硕士研究生《数学(一)》真题
1、
A.连续且取得极大值
B.连续且取得极小值
C.可导且导数为零
D.可导且导数不为零
本题答案：
D
D
2、设函数f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2lnx，则df(1，1)=( )．
A.dx+dy
B.dx-dy
C.dy
D.-dy
本题答案：
C
C
3、设函数
处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则( )．
处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则( )． A.a=1，b=0，c=-
B.a=1，b=0，c=
C.a=-1，b=-1，c=-
D.a=-1，b=-1，c=
本题答案：
A
A
4、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则
( )．
( )． A.
B.
C.
D.
本题答案：
B
B
5、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )．
A.2，0
B.1，1
C.2，1
D.1，2
本题答案：
B
B
6、
β2，β3两两相交，则l1，l2依次为()．
β2，β3两两相交，则l1，l2依次为()．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
A
A
7、设A，B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是( )．
A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
8、设A，B为随机事件，且0
A.若P(A|B)=P(A)，则P(A|
)=P(A)
B.若P(A|B)>P(A)，则P(
|
)>P()
C.若P(A|B)>P(A|
)，则P(A|B)>P(A)
D.若P(A|A
B)>P(
|AB)，则P(A)>P(B)
本题答案：
D
D
9、设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为来自总体
的简单随机样本，令
=
，则( )．
的简单随机样本，令=，则( )． A.
B.
C.
D.
本题答案：
C
C
10、设X1，X2，…，X16是来自总体N(μ，4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0：μ≤10，H1：μ>10．
(x)表示标准正态分布函数．若该检验问题的拒绝域为
，其中
，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为( )．
(x)表示标准正态分布函数．若该检验问题的拒绝域为，其中，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为( )． A.1-
(0．5)
B.1-
(1)
C.1-
(1．5)
D.1-
(2)
本题答案：
B
B
11、
本题答案：
【解析】
【解析】
12、
本题答案：
【解析】
【解析】
13、欧拉方程x2y”+xy’-4y=0满足条件y(1)=1，y’(1)=2的解为______．
本题答案：
y=x2
【解析】
作变换x=et，则y'(t)=y’(x)et=xy'(x)，
y”(f)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y’(t)+x2y”(x)，
则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，
其特征方程为λ2—4=0，特征根为λ1=2，λ2=-2，
则该方程的通解为
，又y(1)=1，y’(1)=2，
故C1=1，C2=0，所以y=x2．
y=x2
【解析】
作变换x=et，则y'(t)=y’(x)et=xy'(x)，
y”(f)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy'(x)+x2y”(x)=y’(t)+x2y”(x)，
则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，
其特征方程为λ2—4=0，特征根为λ1=2，λ2=-2，
则该方程的通解为
，又y(1)=1，y’(1)=2，故C1=1，C2=0，所以y=x2．
14、设三为空间区域{(x，y，z)|x2+4y2≤4，0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分
y2dzdx+zdxdy=______．
y2dzdx+zdxdy=______．
本题答案：
4π
【解析】
由高斯公式得
，其中Ω为∑围成的封闭区域．
由于图形关于xOz平面对称，所以
同理，由于图形关于yOz平面对称，所以
4π
【解析】
由高斯公式得
，其中Ω为∑围成的封闭区域．由于图形关于xOz平面对称，所以
同理，由于图形关于yOz平面对称，所以
15、设A=(aij)为三阶矩阵，Aij为元素aij的代数余子式．若A的每行元素之和均为2，且|A|=3，则A11+A21+A31=______．
本题答案：
【解析】
因为A的每行元素之和均为2，所以
，故A*的每行元素之和均为．
【解析】
因为A的每行元素之和均为2，所以
，故A*的每行元素之和均为．
16、甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为______．
本题答案：
由题意可知，X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示．
所以E(XY)=0．3，E(X)=E(Y)=0．5，D(X)=D(Y)=0．25，
由题意可知，X与Y的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示．
所以E(XY)=0．3，E(X)=E(Y)=0．5，D(X)=D(Y)=0．25，
17、
本题答案：
18、
本题答案：
19、已知曲线
求C上的点到xOy坐标平面距离的最大值．
求C上的点到xOy坐标平面距离的最大值．
本题答案：
设c上的点(x，y，z)到xOy坐标平面的距离为d，则d=|z|
根据题意，目标函数为f(x,y，z)=z2，约束条件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-30=0．
构造拉格朗日函数F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+2y2-z-6)+μ(4x+2y+z-30)，则
设c上的点(x，y，z)到xOy坐标平面的距离为d，则d=|z|
根据题意，目标函数为f(x,y，z)=z2，约束条件是x2+2y2-z-6=0及4x+2y+z-30=0．
构造拉格朗日函数F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+2y2-z-6)+μ(4x+2y+z-30)，则
20、设D
R2是有界单连通闭区域，
取得最大值的积分区域记为D1
(Ⅰ)求I(D1)的值；
(Ⅱ)
其中
D1是D1的正向边界．
R2是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D1
(Ⅰ)求I(D1)的值；
(Ⅱ)
其中
D1是D1的正向边界．
本题答案：
(Ⅰ)要使
取得最大值，则D应该包含所有使得被积函数f(x，y)=4-x2-y2≥0并且D中不能包含使得f(x，y)=4-x2-y2<0的区域，故D1={(x，y)x2+y2≤4}，
又Q(x，y)，P(x，y)在
D1围成的区域D1上有奇点，所以要补充曲线L：x2+4y2=ε2，ε>0足够小，取顺时针方向，且L围成的区域为D”，则Q(x，y)，P(x，y)在D1与L围成的区域D’上满足格林公式的条件，
(Ⅰ)要使
取得最大值，则D应该包含所有使得被积函数f(x，y)=4-x2-y2≥0并且D中不能包含使得f(x，y)=4-x2-y2<0的区域，故D1={(x，y)x2+y2≤4}，又Q(x，y)，P(x，y)在
D1围成的区域D1上有奇点，所以要补充曲线L：x2+4y2=ε2，ε>0足够小，取顺时针方向，且L围成的区域为D”，则Q(x，y)，P(x，y)在D1与L围成的区域D’上满足格林公式的条件，
21、
(Ⅰ)求正交矩阵P，使PTAP为对角矩阵；
(Ⅱ)求正定矩阵C，使C2=(a+3)E-A，其中E为三阶单位矩阵．
(Ⅰ)求正交矩阵P，使PTAP为对角矩阵；
(Ⅱ)求正定矩阵C，使C2=(a+3)E-A，其中E为三阶单位矩阵．
本题答案：
(I)
所以A的特征值为λ1=λ2=a-1，λ3=a+2．
当λ1=λ2=a-1时，|A-(a-1)E|x=0，
(I)
所以A的特征值为λ1=λ2=a-1，λ3=a+2．
当λ1=λ2=a-1时，|A-(a-1)E|x=0，
22、(本题满分12分)
在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，其中较短一段的长度记为X，较长一段的长度记为Y，
．
(Ⅰ)求X的概率密度；
(Ⅱ)求Z的概率密度；
(Ⅲ)求E(
)．
在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，其中较短一段的长度记为X，较长一段的长度记为Y，
．(Ⅰ)求X的概率密度；
(Ⅱ)求Z的概率密度；
(Ⅲ)求E(
)．
本题答案：
(Ⅰ)
由题意知，X+Y=2，0
(Ⅰ)
由题意知，X+Y=2，0